Wiskundige tekst van Shaduppum

Wiskundige tekst van Shaduppum



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.


Een 3D-print van de oude geschiedenis: een van de beroemdste wiskundige teksten uit Mesopotamië

Hoewel vrij klein, de tablet van YBC 7289 bevat een van de beroemdste wiskundige teksten uit het oude Mesopotamië, een beschaving die bloeide tussen het vierde millennium voor Christus en het begin van het eerste millennium na Christus, in wat nu de Republiek Irak is. De originele tablet bevindt zich in de Yale Babylonian Collection aan de Yale University in New Haven, Connecticut, VS. Het komt hoogstwaarschijnlijk uit het zuiden van Irak, maar de exacte herkomst is onbekend. Het kan worden gedateerd in de 19e of 18e eeuw voor Christus. De tablet werd gescand en gedigitaliseerd (Figuur 1) bij Yale's Institute for the Preservation of Cultural Heritage.

Afbeelding 1: afbeelding van het origineel YBC 7289 Babylonische tablet wordt gescand in een Reflectance Transformation Imaging (RTI) dome

Het tablet heeft een ronde vorm die typerend is voor teksten die zijn geschreven door Babylonische studenten die leerden schrijven en rekenen in spijkerschrift, het schrift dat werd gebruikt door Mesopotamische schriftgeleerden en geleerden. De aldus gevormde tabletten stonden in het Babylonisch bekend als: imšukkum, d.w.z. "handtablet", omdat ze comfortabel in de handpalm van de student passen.

De tablet toont een vierkant met beide diagonalen ingetekend (Figuur 2). Een hekje linksboven geeft aan dat de zijden van het vierkant elk 30 eenheden lang zijn. Langs de diagonaal vinden we de cijfers 1,24,51,10 en 42,25,35, beide geschreven, in overeenstemming met de conventies van het Babylonische sexagesimale systeem, met grondtal 60. Het tweede van deze getallen geeft de lengte van de diagonaal kan worden gelezen als 42 × 1 + 25 × 1/60 + 35 × 1/3600, of 42.426389. Het eerste getal, geconverteerd naar een decimaal, geeft 1.414212963, wat heel dicht bij √ 2 ligt, dat wil zeggen 1.414213562. Blijkbaar had de student, om de lengte te bepalen van de diagonaal van een vierkant waarvan de zijden elk 30 eenheden lang waren, 30 × [124,51,10] berekend, wat 4225,35 oplevert.

Figuur 2: Toelichtende tekening van YCB 7289

Het tablet bewijst dat de Babyloniërs van het vroege tweede millennium vGT wisten dat de verhouding van de zijde tot diagonaal in een vierkant 1 tot de vierkantswortel van 2 is. Ze waren tot dit inzicht gekomen lang voordat de Griekse filosoof Pythagoras, die waarschijnlijk in de zesde eeuw vGT, vestigde zijn beroemde stelling een 2 + B 2 = C 2 , die achter hun oplossing zit. Het tablet laat bovendien zien dat de wiskundigen van het Oud-Babylonische tijdperk een opmerkelijk goede benadering van √2 hadden gevonden: 124,51,10. De student die het tablet schreef, schijnt dit getal uit een lijst met coëfficiënten te hebben gehaald (een dergelijke lijst is eveneens ondergebracht in de Yale Babylonian Collection).

De geletterd van het oude Mesopotamië blonk uit in vele wetenschappelijke disciplines, waaronder geneeskunde en lexicografie. Maar hun wiskundige kennis was bijzonder geavanceerd en geavanceerd, en ging vele eeuwen vooraf aan vergelijkbare prestaties onder de Grieken.

De 3D-print is gemaakt op basis van gegevens die zijn verkregen bij Yale IPCH binnen de Yale Babylonian Collection Digital Imaging Project, puttend uit het 107 jaar oude, 45.000 object Yale Babylonische collectie als een van de belangrijkste collecties Mesopotamische tabletten en andere artefacten op het westelijk halfrond. De belangrijkste doelstellingen van het project waren het produceren van materiaal van hoge kwaliteit voor gebruik in wetenschappelijk onderzoek en onderwijs, en het formuleren en perfectioneren van acquisitie- en databeheertechnieken.

De in dit project toegepaste digitaliseringsmethoden omvatten reflectietransformatiebeeldvorming (RTI), 3D-laserscanning, multispectrale beeldvorming (MSI) en fotografie met hoge resolutie. De eindproducten van deze digitale acquisities omvatten interactieve visualisaties, 3D-modellen en afbeeldingen van hoge kwaliteit.

We hopen dat dit samenwerkingsproject dient om de toegang te vergroten, de bestaande metadata verenigt met de nieuwe visualisaties en de uitbreiding van onderzoeksmethodologieën naar spijkerschriftdigitaliseringsprojecten op Yale en daarbuiten bevordert.


Wiskundige tekst uit Shaduppum - Geschiedenis

Maak een bladwijzer voor deze pagina, http://aleph0.clarku.edu/

djoyce/ma105/, zodat u er gemakkelijk toegang toe hebt.

    Algemene beschrijving. We zullen enkele belangrijke thema's in de wiskunde onderzoeken - berekening, getal, meetkunde, algebra, oneindigheid, formalisme - en hun historische ontwikkeling in verschillende beschavingen, variërend van de oudheid van Babylonië en Egypte tot het klassieke Griekenland, het Midden- en Verre Oosten, en op naar het moderne Europa. We zullen zien hoe de vroegere beschavingen latere beschavingen beïnvloedden of faalden en hoe de concepten zich in deze verschillende beschavingen ontwikkelden.

De vroegste beschavingen hebben alleen archeologisch en beperkt historisch bewijsmateriaal achtergelaten dat substantiële interpretatie vereist. We hebben veel wiskundige verhandelingen uit de latere beschavingen, maar deze zijn meestal in een voltooide vorm, zonder de ontwikkeling van de concepten en de doeleinden waarvoor de wiskunde is ontwikkeld. We zullen dus de argumenten moeten analyseren die door historici van de wiskunde worden gegeven voor hun objectiviteit en volledigheid.

    Onderzoekt belangrijke thema's & mdash-berekening, getal, geometrie, algebra, oneindigheid & mdashand hun historische ontwikkeling in beschavingen variërend van de oudheid van Babylonië en Egypte via het klassieke Griekenland, het Midden- en Verre Oosten en vervolgens het moderne Europa. Analyseert de spanning tussen toepassingen van wiskunde en de tendens naar formalisme. Benadrukt presentaties en discussies. Voldoet aan het historisch perspectief.
  • Inhoudsdoelen:
    • volg de ontwikkeling van de wiskunde van vroege getalsystemen tot de uitvinding van calculus
    • lees en begrijp wat historische wiskunde
    • onderzoek naar de ontwikkeling en het gebruik van berekeningsmethoden, waarvan sommige met hulpmiddelen zoals het telraam
    • bestudeer de wiskunde van verschillende beschavingen, hun concept en gebruik van wiskunde, en hoe de historische omstandigheden van die beschavingen beïnvloed werden en werden beïnvloed door wiskunde
    • ontwikkel je vermogen om de hedendaagse wereld te begrijpen in het grotere kader van traditie en geschiedenis
    • focus op de problemen van het interpreteren van het verleden en kan ook omgaan met de relatie tussen verleden en heden
    • leerlingen kennis laten maken met de manier waarop wetenschappers kritisch denken over het verleden, het heden en de toekomst
    • Ontwikkel uw vermogen om wiskunde en geschiedenis in gesproken en geschreven vorm te presenteren
    • Help je onderzoeksvaardigheden te oefenen
    • Bevredig, gedeeltelijk, uw nieuwsgierigheid naar hoe wiskunde zich ontwikkelde en hoe het in cultuur past
      Als je deze cursus hebt afgerond, moet je in staat zijn om:
  • beschrijf de ontwikkeling van verschillende gebieden van de wiskunde binnen en tussen verschillende beschavingen
  • het veranderende karakter van wiskunde in de loop van de tijd beschrijven en het onderscheid herkennen tussen formele en intuïtieve wiskunde
  • voorbeelden geven van belangrijke toepassingen van wiskunde op handel, wetenschap en het algemene leven, vroeger en nu
  • begrijpen dat geschiedenis de interpretatie van het verleden omvat, niet alleen feiten
  • beter historische vragen onderzoeken en uw conclusies aan anderen presenteren
  • De hoofdstukken verwijzen naar ons leerboek.

    • Hoofdstuk 1: Egypte en Mesopotamië
      • Egypte: getallenstelsel, vermenigvuldigen en delen, eenheidsbreuken, de Egyptische 2/N tabel, lineaire vergelijkingen en de methode van valse positie, geometrie.
      • Mesopotamië: sexagesimaal (grondtal 60) systeem en spijkerschriftnotatie, rekenkunde, Babylonische vermenigvuldigingstabel, Babylonische reciproke tafel, elementaire meetkunde, de stelling van Pythagoras, Plimpton 322 tablet, vierkantswortels, kwadratische vergelijkingen, tokens van preliterate Mesopotamië.
      • De vroegste Griekse wiskunde: verschillende Griekse cijfers, Thales, Pythagoras en de Pythagoreeërs, moeilijke constructieproblemen
      • Plato en Aristoteles: logica, grootheden, Zeno's paradoxen
      • De wet van de hefboom, benadering van pi, reekssommen
      • Astronomie voor Ptolemaeus, Kosmologie en astronomie
      • Vroege trigonometrie, geschiedenis van trigonometrie
      • Ptolemaeus en de Almagest
      • Praktische wiskunde, Heron, Ptolemaeus Geografie
      • Diophantus en Griekse algebra, Pappus en analyse
        Zie ook Overzicht van wiskunde in China
    • Cijfersymbolen, staafcijfers, breuken
    • Geometrie: oppervlakten en volumes, de stelling van Pythagoras, gelijkvormige driehoeken
    • Algebra: gelijktijdige lineaire vergelijkingen, rekenkundige driehoek, oplossen van veeltermvergelijkingen.
    • Onbepaalde analyse en de Chinese reststelling die er een vindt
      • Zie ook Overzicht van wiskunde in India
      • Het Hindoe-Arabische plaatswaardesysteem en rekenkunde
      • Geometrie
      • Vergelijkingen en onbepaalde analyse
      • Combinatoriek
      • Trigonometrie, de trig-tabel van Aryabhata
      • decimale rekenkunde
      • Algebra: kwadratische vergelijkingen, machten van de onbekende, rekenkundige driehoek, derdegraadsvergelijkingen
      • Combinatoriek
      • Geometrie: parallellenpostulaat, trigonometrie
      • Vertalingen uit het Arabisch in het Latijn in de 12e en 13e eeuw
      • Samenvatting van vroege wiskunde in West-Europa
      • Combinatoriek
      • De wiskunde van kinematica: snelheid, de stelling van Merton, de fundamentele stelling van calculus van Oresme
      • Wiskunde aan het begin van de veertiende eeuw
      • Wiskunde in Amerika, Afrika en de Stille Oceaan
      • De Italiaanse abacists, algebra in Frankrijk, Duitsland, Engeland en Portugal
      • De oplossing van de derdegraadsvergelijking
      • Vroege ontwikkeling van symbolische algebra: Vié en Stevin
      • Perspectief, aardrijkskunde en navigatie, astronomie en trigonometrie, logaritmen, kinematica
      • De theorie van vergelijkingen
      • Analytische meetkunde: coördinaten, vergelijkingen van krommen
      • elementaire waarschijnlijkheid
      • Nummer theorie
      • Projectieve geometrie
      • Raaklijnen en extrema, gebieden en volumes, machtreeksen, rectificatie van krommen en de fundamentele stelling van calculus
      • Isaac Newton, Gottfried Leibniz en de eerste calculusteksten

      Klasnotities, quizzen, toetsen, huiswerkopdrachten

        woensdag 18 januari 2017.
        Welkom in de klas! Cursusoverzicht
        Egyptische cijfers en rekenen. Vermenigvuldigen en delen algoritmen.
        Waarom wiskunde geschiedenis geven?


      Klanten die dit item bekeken, bekeken ook

      Beoordeling

      "Dit fascinerende boek presenteert 121 niet-gepubliceerde wiskundige kleitabletten uit de Noorse Schøyen-collectie ... . Het boek is verdeeld in 12 hoofdstukken, 10 bijlagen, een vocabulaire voor MS-teksten, een index van onderwerpen ... en een grote lijst met referenties ... Veel foto's, tekeningen en gekleurde foto's van de meest interessante tabletten zijn ook inbegrepen. ... opent Babylonische wiskunde voor een nieuwe generatie wiskundigen, historici van wetenschap en wiskunde, leraren en studenten. Het kan daarom worden aanbevolen aan een breed publiek." (Nieuwsbrief European Mathematical Society, juni 2008)

      "We verwelkomen het boek dat wordt beoordeeld, een studie van de Martin Schøyen-collectie ... deze collectie bevat voorbeelden van vrijwel elk bekend type wiskundig tablet, evenals enkele soorten tablets die nooit zijn gepubliceerd. ... Het boek van Friberg zal van onschatbare waarde zijn voor iedereen die Mesopotamische wiskunde bestudeert, omdat het zoveel meer voorbeelden geeft van wiskundige ideeën die door de schriftgeleerden werden gebruikt... Elke goede bibliotheek in de geschiedenis van de wiskunde zou kopieën moeten hebben...." (Victor J. Katz, Wiskundige beoordelingen, uitgave 2008 h)

      Van de achteromslag

      Deze nieuwe tekst van Jöran Friberg, de toonaangevende expert op het gebied van Babylonische wiskunde, presenteert 130 niet eerder gepubliceerde wiskundige kleitabletten uit de Noorse Schøyen-collectie en biedt een synthese van het belangrijkste werk van de auteur. Door een nauwkeurige studie van deze tabletten heeft Friberg talloze verbazingwekkende ontdekkingen gedaan, waaronder de eerste bekende voorbeelden van pre-klassieke labyrinten en doolhoven, een nieuw begrip van de beroemde tafeltekst Plimpton 322, en nieuw bewijs van Babylonische bekendheid met geavanceerde wiskundige ideeën en objecten, zoals de driedimensionale vergelijking van Pythagoras en de icosaëder.

      Om de tekst toegankelijk te maken voor een zo groot mogelijk publiek, heeft de auteur een inleidend hoofdstuk opgenomen met de titel "Hoe krijg ik een beter begrip van wiskundige spijkerschriftteksten." Door de hele tekst heen vermijdt hij anachronismen en stelt hij alles in het werk om de lezer hetzelfde te leren. De benadering in dit boek is inherent pedagogisch, aangezien Friberg alle stappen van het interpretatieproces illustreert en de wiskundige ideeën duidelijk uitlegt, inclusief terminologie, metrologische systemen en berekeningsmethoden. Tekeningen en kleurenfoto's van een grote selectie tablets zijn ook inbegrepen. Bijzonder mooie handkopieën van de meest gecompliceerde teksten werden gemaakt door Farouk Al-Rawi, hoogleraar Oude Talen en Archeologie aan de Universiteit van Bagdad.

      Hoewel het boek lezersvriendelijk is, blijft het zo gedetailleerd en volledig mogelijk. Het is de meest uitgebreide behandeling van een reeks Babylonische wiskundige teksten die ooit zijn gepubliceerd en zal dit onderwerp openstellen voor een nieuwe generatie studenten, wiskundigen en wetenschapshistorici.

      Jöran Friberg is emeritus hoogleraar wiskunde aan de Chalmers University of Technology, Zweden. Hij heeft onlangs het boek Unexpected Links Between Egyptian and Babylonian Mathematics (World Scientific 2005) en het vervolg Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics (World Scientific 2007) gepubliceerd.


      Een geschiedenis van wiskundige notaties

      Access-restricted-item true Datum toegevoegd 2014-03-27 13:31:25.276958 Bookplateleaf 0008 Boxid IA1159416 Stad New York Donor bostonpubliclibrary Edition [Facsim. red.]. Externe identifier urn:asin:0486677664
      urn:oclc:record:1149536533 Extramarc Cornell University Foldoutcount 0 Identifier historyofmathema00cajo_0 Identifier-ark ark:/13960/t3129x51x Factuur 1213 Isbn 9780486677668
      0486677664 Lccn 93029211 Ocr ABBYY FineReader 11.0 (Extended OCR) Openlibrary OL1419233M Openlibrary_edition OL1419233M Openlibrary_work OL2337965W Pagina's 870 Ppi 300 Related-extern-id urn:isbn:087548154X
      urn:lccn:74176142
      urn:oclc:1031832
      urn:oclc:650175782
      urn:oclc:779106517
      urn:isbn:1602066841
      urn:oclc:707100737
      urn:oclc:780334823
      urn:oclc:794963850
      urn:isbn:1602067139
      urn:oclc:780334881
      urn:isbn:0875481728
      urn:oclc:263886914
      urn:isbn:0486161161
      urn:oclc:867768479
      urn:isbn:1306369703
      urn:oclc:868966073 Republisher_date 20171106090321 Republisher_operator [email protected] Republisher_time 703 Scandate 20171104072238 Scanner ttscribe14.hongkong.archive.org Scanningcenter hongkong Top_six true Tts_version v1.54-12-g6b48a9 True888

      Een opmerkelijke verzameling Babylonische wiskundige teksten

      Auteurs: Friberg, Joran

      • Auteur is een toonaangevende autoriteit op het gebied van Babylonische wiskunde
      • Inclusief analyse van tabletten die nog nooit eerder zijn onderzocht
      • Biedt nieuw inzicht in het Babylonische begrip van geavanceerde wiskundige objecten
      • Meer dan 300 figuren, veel in kleur

      Koop dit boek

      • ISBN 978-0-387-48977-3
      • Digitaal watermerk, DRM-vrij
      • Inbegrepen formaat: PDF
      • e-boeken kunnen op alle leesapparaten worden gebruikt
      • Onmiddellijke eBook-download na aankoop
      • ISBN 978-0-387-34543-7
      • Gratis verzending voor particulieren wereldwijd
      • Institutionele klanten dienen contact op te nemen met hun accountmanager
      • Meestal klaar om te worden verzonden binnen 3 tot 5 werkdagen, indien op voorraad

      Deze nieuwe tekst van Jöran Friberg, de toonaangevende expert op het gebied van Babylonische wiskunde, presenteert 130 niet eerder gepubliceerde wiskundige kleitabletten uit de Noorse Schøyen-collectie en biedt een synthese van het belangrijkste werk van de auteur. Door een nauwkeurige studie van deze tabletten heeft Friberg talloze verbazingwekkende ontdekkingen gedaan, waaronder de eerste bekende voorbeelden van pre-klassieke labyrinten en doolhoven, een nieuw begrip van de beroemde tafeltekst Plimpton 322, en nieuw bewijs van Babylonische bekendheid met geavanceerde wiskundige ideeën en objecten, zoals de driedimensionale vergelijking van Pythagoras en de icosaëder.

      Om de tekst toegankelijk te maken voor een zo groot mogelijk publiek, heeft de auteur een inleidend hoofdstuk opgenomen met de titel "Hoe krijg ik een beter begrip van wiskundige spijkerschriftteksten." Door de hele tekst heen vermijdt hij anachronismen en stelt hij alles in het werk om de lezer hetzelfde te leren. De benadering in dit boek is inherent pedagogisch, aangezien Friberg alle stappen van het interpretatieproces illustreert en de wiskundige ideeën duidelijk uitlegt, inclusief terminologie, metrologische systemen en berekeningsmethoden. Tekeningen en kleurenfoto's van een grote selectie tablets zijn ook inbegrepen. Bijzonder mooie handkopieën van de meest gecompliceerde teksten werden gemaakt door Farouk Al-Rawi, hoogleraar Oude Talen en Archeologie aan de Universiteit van Bagdad.

      Hoewel het boek lezersvriendelijk is, blijft het zo gedetailleerd en volledig mogelijk. Het is de meest uitgebreide behandeling van een reeks Babylonische wiskundige teksten die ooit zijn gepubliceerd en zal dit onderwerp openstellen voor een nieuwe generatie studenten, wiskundigen en wetenschapshistorici.

      Jöran Friberg is emeritus hoogleraar wiskunde aan de Chalmers University of Technology, Zweden. Hij heeft onlangs het boek Unexpected Links Between Egyptian and Babylonian Mathematics (World Scientific 2005) en het vervolg Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics (World Scientific 2007) gepubliceerd.

      "Dit fascinerende boek presenteert 121 niet-gepubliceerde wiskundige kleitabletten uit de Noorse Schøyen-collectie ... . Het boek is verdeeld in 12 hoofdstukken, 10 bijlagen, een vocabulaire voor MS-teksten, een index van onderwerpen ... en een grote lijst met referenties ... Veel foto's, tekeningen en gekleurde foto's van de meest interessante tabletten zijn ook opgenomen. ... opent Babylonische wiskunde voor een nieuwe generatie wiskundigen, historici van wetenschap en wiskunde, leraren en studenten. Het kan daarom worden aanbevolen aan een breed publiek." (Nieuwsbrief European Mathematical Society, juni 2008)

      "We verwelkomen het boek dat wordt beoordeeld, een studie van de Martin Schøyen-collectie ... deze collectie bevat voorbeelden van vrijwel elk bekend type wiskundig tablet, evenals enkele soorten tablets die nooit zijn gepubliceerd. ... Het boek van Friberg zal van onschatbare waarde zijn voor iedereen die Mesopotamische wiskunde bestudeert, omdat het zoveel meer voorbeelden geeft van wiskundige ideeën die door de schriftgeleerden werden gebruikt... Elke goede bibliotheek in de geschiedenis van de wiskunde zou kopieën moeten hebben...'. (Victor J. Katz, Wiskundige beoordelingen, uitgave 2008 h)


      Een overzicht van de Indiase wiskunde

      Het lijdt geen twijfel dat de wiskunde van vandaag een enorme schuld te danken heeft aan de uitstekende bijdragen die gedurende vele honderden jaren door Indiase wiskundigen zijn geleverd. Wat nogal verrassend is, is dat er een terughoudendheid is geweest om dit te erkennen en men moet concluderen dat veel beroemde historici van de wiskunde hebben gevonden wat ze verwachtten te vinden, of misschien zelfs wat ze hoopten te vinden, in plaats van te beseffen wat zo duidelijk was in voor hen.

      We zullen de bijdragen van de Indiase wiskunde in dit artikel onderzoeken, maar voordat we deze bijdrage in meer detail bekijken, moeten we duidelijk zeggen dat de "enorme schuld" het prachtige getallenstelsel is dat door de Indiërs is uitgevonden en waarop een groot deel van de wiskundige ontwikkeling is gebaseerd. Laplace zette dit met grote duidelijkheid: -

      We zullen later in dit artikel kort ingaan op de Indiase ontwikkeling van het decimale stelsel van plaatswaarden en in het afzonderlijke artikel Indiase cijfers in wat meer detail. Maar eerst gaan we terug naar het eerste bewijs dat de wiskunde zich in India ontwikkelde.

      Geschiedenissen van de Indiase wiskunde begonnen met het beschrijven van de geometrie in de Sulbasutras, maar onderzoek naar de geschiedenis van de Indiase wiskunde heeft aangetoond dat de essentie van deze geometrie ouder was, omdat ze vervat waren in de altaarconstructies beschreven in de Vedische mythologietekst. Shatapatha Brahmana en de Taittiriya Samhita. Er is ook aangetoond dat de studie van wiskundige astronomie in India teruggaat tot ten minste het derde millennium voor Christus en dat wiskunde en geometrie moeten hebben bestaan ​​om deze studie in deze oude tijden te ondersteunen.

      De eerste wiskunde die we in dit artikel zullen beschrijven, ontwikkelde zich in de Indusvallei. De vroegst bekende stedelijke Indiase cultuur werd voor het eerst geïdentificeerd in 1921 in Harappa in de Punjab en vervolgens, een jaar later, in Mohenjodaro, nabij de Indus-rivier in de Sindh. Beide locaties bevinden zich nu in Pakistan, maar dit valt nog steeds onder onze term 'Indiase wiskunde', die in dit artikel verwijst naar wiskunde die is ontwikkeld op het Indiase subcontinent. De Indus-beschaving (of Harappan-beschaving zoals het soms wordt genoemd) was gevestigd in deze twee steden en ook in meer dan honderd kleine steden en dorpen. Het was een beschaving die begon rond 2500 voor Christus en overleefde tot 1700 voor Christus of later. De mensen waren geletterd en gebruikten een geschreven schrift met ongeveer 500 karakters waarvan sommigen beweren dat ze het hebben ontcijferd, maar aangezien het verre van duidelijk is dat dit het geval is, moet er nog veel onderzoek worden gedaan voordat een volledige waardering van de wiskundige prestaties van deze oude beschaving kan worden bereikt. volledig kan worden beoordeeld.

      We denken vaak aan Egyptenaren en Babyloniërs als het toppunt van beschaving en wiskundige vaardigheden rond de periode van de Indus-beschaving, maar V G Childe in Nieuw licht op het oudste oosten (1952) schreef: -

      We weten wel dat de Harappans een uniform systeem van maten en gewichten hadden aangenomen. Een analyse van de gevonden gewichten suggereert dat ze tot twee reeksen behoren die beide decimaal van aard zijn, waarbij elk decimaal getal wordt vermenigvuldigd en gedeeld door twee, wat de hoofdreeksverhoudingen van 0 oplevert. 05, 0. 1 , 0 . 2, 0. 5, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 en 500. Tijdens opgravingen werden ook verschillende schalen voor het meten van lengte ontdekt. Een daarvan was een decimale schaal gebaseerd op een meeteenheid van 1 . 32 inch (3,35 centimeter) die de "Indus inch" wordt genoemd. Natuurlijk is tien eenheden dan 13 . 2 inch, wat heel geloofwaardig is als de maat van een "voet". Een vergelijkbare maatstaf op basis van de lengte van een voet is aanwezig in andere delen van Azië en daarbuiten. Een andere schaal werd ontdekt toen een bronzen staaf werd gevonden die was gemarkeerd in lengtes van 0 . 367 inch. Het is zeker verrassend de nauwkeurigheid waarmee deze schalen zijn gemarkeerd. Nu is 100 eenheden van deze maat 36 . 7 inch, wat de maat is van een stap. Metingen van de ruïnes van de gebouwen die zijn opgegraven tonen aan dat deze lengte-eenheden nauwkeurig werden gebruikt door de Harappans in de bouw.

      Het is onduidelijk wat de achteruitgang van de Harappan-beschaving precies heeft veroorzaakt. Historici hebben vier mogelijke oorzaken gesuggereerd: een verandering in klimaatpatronen en een daaruit voortvloeiende landbouwcrisis, een klimaatramp zoals overstromingen of ernstige droogte, ziekte die wordt verspreid door een epidemie of de invasie van Indo-Arische volkeren vanuit het noorden. Vroeger was de favoriete theorie de laatste van de vier, maar recente meningen geven de voorkeur aan een van de eerste drie. Wat zeker waar is, is dat uiteindelijk de Indo-Arische volkeren uit het noorden zich over het gebied hebben verspreid. Dit brengt ons bij het vroegste literaire verslag van de Indiase cultuur, de Veda's die werden gecomponeerd in het Vedische Sanskriet, tussen 1500 voor Christus en 800 voor Christus. Aanvankelijk werden deze teksten, bestaande uit hymnes, spreuken en rituele observaties, mondeling overgedragen. Later werden de teksten geschreven werken voor gebruik door degenen die de Vedische religie beoefenden.

      De volgende belangrijke wiskunde op het Indiase subcontinent werd in verband gebracht met deze religieuze teksten. Het bestond uit de Sulbasutra's die aanhangsels waren bij de Veda's die regels gaven voor het bouwen van altaren. Ze bevatten nogal wat meetkundige kennis, maar de wiskunde werd ontwikkeld, niet omwille van zichzelf, maar puur voor praktische religieuze doeleinden. De wiskunde in deze teksten wordt in enig detail bestudeerd in het afzonderlijke artikel over de Sulbasutra's.

      De belangrijkste Sulbasutras werden gecomponeerd door Baudhayana (ongeveer 800 voor Christus), Manava (ongeveer 750 voor Christus), Apastamba (ongeveer 600 voor Christus) en Katyayana (ongeveer 200 voor Christus). Deze mannen waren zowel priesters als geleerden, maar het waren geen wiskundigen in de moderne zin van het woord. Hoewel we geen andere informatie over deze mannen hebben dan de teksten die ze schreven, hebben we ze opgenomen in onze biografieën van wiskundigen. Er is nog een geleerde, die weer geen wiskundige in de gebruikelijke zin was, die rond deze periode leefde. Dat was Panini die opmerkelijke resultaten boekte in zijn studie van de Sanskrietgrammatica. Nu zou men zich redelijkerwijs kunnen afvragen wat de Sanskrietgrammatica met wiskunde te maken heeft. Het heeft zeker iets te maken met moderne theoretische informatica, want een wiskundige of computerwetenschapper die met formele taaltheorie werkt, zal herkennen hoe modern sommige van Panini's ideeën zijn.

      Vóór het einde van de periode van de Sulbasutras, rond het midden van de derde eeuw voor Christus, begonnen de Brahmi-cijfers te verschijnen.


      Hier is één stijl van de Brahmi-cijfers:


      Dit zijn de vroegste cijfers die, na een groot aantal veranderingen, zich uiteindelijk ontwikkelden tot de cijfers 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 die tegenwoordig worden gebruikt. De ontwikkeling van cijfers en plaatsgetalstelsels wordt bestudeerd in het artikel Indiase cijfers.

      De Vedische religie met zijn offerrituelen begon af te nemen en andere religies begonnen haar te vervangen. Een daarvan was het jaïnisme, een religie en filosofie die rond de 6e eeuw voor Christus in India werd gesticht. Hoewel de periode na het verval van de Vedische religie tot aan de tijd van Aryabhata I rond 500 na Christus vroeger werd beschouwd als een donkere periode in de Indiase wiskunde, is deze recentelijk erkend als een tijd waarin veel wiskundige ideeën werden overwogen. In feite wordt Aryabhata nu gezien als een samenvatting van de wiskundige ontwikkelingen van de Jaina en als het begin van de volgende fase.

      De belangrijkste onderwerpen van de Jaina-wiskunde rond 150 voor Christus waren: de theorie van getallen, rekenkundige bewerkingen, meetkunde, bewerkingen met breuken, eenvoudige vergelijkingen, derdegraadsvergelijkingen, kwadratische vergelijkingen en permutaties en combinaties. Meer verrassend ontwikkelden de Jaina een theorie van het oneindige met verschillende niveaus van oneindigheid, een primitief begrip van indices en een idee van logaritmen met grondtal 2 . Een van de moeilijke problemen waarmee historici van de wiskunde worden geconfronteerd, is het bepalen van de datum van het Bakhshali-manuscript. Als dit een werk is dat inderdaad uit 400 na Christus stamt, of in ieder geval een kopie van een werk dat oorspronkelijk in die tijd is geschreven, dan zal ons begrip van de prestaties van de Jaina-wiskunde aanzienlijk worden vergroot. Hoewel er zoveel onzekerheid bestaat over de datum, een onderwerp dat volledig wordt besproken in ons artikel over het Bakhshali-manuscript, moeten we voorkomen dat we de geschiedenis van de Jaina-periode herschrijven in het licht van de wiskunde in dit opmerkelijke document.

      U kunt een apart artikel bekijken over Jaina wiskunde op DEZE LINK.

      Als de Vedische religie aanleiding gaf tot een studie van wiskunde voor het bouwen van offeraltaren, dan was het de Jaina-kosmologie die leidde tot ideeën over het oneindige in de Jaina-wiskunde. Latere wiskundige vooruitgang werd vaak gedreven door de studie van de astronomie. Welnu, misschien zou het nauwkeuriger zijn om te zeggen dat astrologie de drijvende kracht vormde, aangezien het die "wetenschap" was die nauwkeurige informatie over de planeten en andere hemellichamen vereiste en zo de ontwikkeling van de wiskunde aanmoedigde. Religie speelde ook een belangrijke rol bij astronomisch onderzoek in India, want nauwkeurige kalenders moesten worden voorbereid om religieuze vieringen op de juiste tijden te laten plaatsvinden. Wiskunde was toen nog eeuwenlang een toegepaste wetenschap in India, waarbij wiskundigen methoden ontwikkelden om praktische problemen op te lossen.

      Yavanesvara speelde in de tweede eeuw na Christus een belangrijke rol bij het populariseren van astrologie toen hij een Griekse astrologische tekst uit 120 voor Christus vertaalde. Als hij een letterlijke vertaling had gemaakt, valt te betwijfelen of het interessant zou zijn geweest voor meer dan een paar academisch ingestelde mensen. Hij populariseerde de tekst echter door het hele werk terug te brengen in de Indiase cultuur met behulp van hindoeïstische afbeeldingen met het Indiase kastensysteem geïntegreerd in zijn tekst.

      Rond 500 na Christus begon het klassieke tijdperk van de Indiase wiskunde met het werk van Aryabhata. Zijn werk was zowel een samenvatting van de Jaina-wiskunde als het begin van een nieuw tijdperk voor astronomie en wiskunde. Zijn ideeën over astronomie waren werkelijk opmerkelijk. Hij verving de twee demonen Rahu, de Dhruva Rahu die de fasen van de maan veroorzaakt en de Parva Rahu die een verduistering veroorzaakt door de maan of de zon of hun licht te bedekken, door een moderne theorie van verduisteringen. Hij introduceerde trigonometrie om zijn astronomische berekeningen te maken, gebaseerd op de Griekse epicykeltheorie, en hij loste met geheeltallige oplossingen onbepaalde vergelijkingen op die in astronomische theorieën voorkwamen.

      Aryabhata leidde een onderzoekscentrum voor wiskunde en astronomie in Kusumapura in het noordoosten van het Indiase subcontinent. Daar groeide een school op die zijn ideeën bestudeerde, maar meer dan dat, Aryabhata zette nog vele eeuwen de agenda voor wiskundig en astronomisch onderzoek in India. Een ander wiskundig en astronomisch centrum bevond zich in Ujjain, ook in het noorden van het Indiase subcontinent, dat rond dezelfde tijd als Kusumapura opgroeide. De belangrijkste wiskundige in dit tweede centrum was Varahamihira, die ook een belangrijke bijdrage leverde aan de astronomie en trigonometrie.

      De belangrijkste ideeën van de Jaina-wiskunde, met name die met betrekking tot de kosmologie met zijn passie voor grote eindige getallen en oneindige getallen, bleven bloeien met geleerden zoals Yativrsabha. Hij was een tijdgenoot van Varahamihira en van de iets oudere Aryabhata. We moeten ook opmerken dat de twee scholen in Kusumapura en Ujjain betrokken waren bij de voortdurende ontwikkeling van de cijfers en van plaatsgebonden nummersystemen. De volgende figuur van groot belang op de Ujjain-school was Brahmagupta tegen het begin van de zevende eeuw na Christus en hij zou een van de belangrijkste bijdragen leveren aan de ontwikkeling van de getallenstelsels met zijn opmerkelijke bijdragen over negatieve getallen en nul. Het is een ontnuchterende gedachte dat de Europese wiskunde achthonderd jaar later moeite zou hebben om het hoofd te bieden zonder het gebruik van negatieve getallen en nul.

      Dit waren zeker niet Brahmagupta's enige bijdragen aan de wiskunde. Verre van dat, want hij leverde andere belangrijke bijdragen aan het begrip van integer-oplossingen voor onbepaalde vergelijkingen en aan interpolatieformules die zijn uitgevonden om de berekening van sinustabellen te vergemakkelijken.

      De manier waarop de bijdragen van deze wiskundigen werden ingegeven door een studie van methoden in de sferische astronomie wordt beschreven in [25]:-

      Voordat we verder gaan met het beschrijven van de ontwikkelingen in de klassieke periode, moeten we eerst de mechanismen uitleggen die de wiskunde in deze eeuwen in India tot bloei hebben gebracht. Het onderwijssysteem in India stond destijds niet toe dat getalenteerde mensen met het vermogen een opleiding in wiskunde of astronomie te volgen. Het hele onderwijssysteem was eerder gebaseerd op families. Er waren een aantal families die de tradities van astrologie, astronomie en wiskunde voortbrachten door elke nieuwe generatie van de familie op te leiden in de vaardigheden die waren ontwikkeld. We moeten ook opmerken dat astronomie en wiskunde zich op zichzelf ontwikkelden, los van de ontwikkeling van andere kennisgebieden.

      Nu zou een 'wiskundige familie' een bibliotheek hebben die het schrift van de vorige generaties bevatte. These writings would most likely be commentaries on earlier works such as the Aryabhatiya of Aryabhata. Many of the commentaries would be commentaries on commentaries on commentaries etc. Mathematicians often wrote commentaries on their own work. They would not be aiming to provide texts to be used in educating people outside the family, nor would they be looking for innovative ideas in astronomy. Again religion was the key, for astronomy was considered to be of divine origin and each family would remain faithful to the revelations of the subject as presented by their gods. To seek fundamental changes would be unthinkable for in asking others to accept such changes would be essentially asking them to change religious belief. Nor do these men appear to have made astronomical observations in any systematic way. Some of the texts do claim that the computed data presented in them is in better agreement with observation than that of their predecessors but, despite this, there does not seem to have been a major observational programme set up. Paramesvara in the late fourteenth century appears to be one of the first Indian mathematicians to make systematic observations over many years.

      Mathematics however was in a different position. It was only a tool used for making astronomical calculations. If one could produce innovative mathematical ideas then one could exhibit the truths of astronomy more easily. The mathematics therefore had to lead to the same answers as had been reached before but it was certainly good if it could achieve these more easily or with greater clarity. This meant that despite mathematics only being used as a computational tool for astronomy, the brilliant Indian scholars were encouraged by their culture to put their genius into advances in this topic.

      A contemporary of Brahmagupta who headed the research centre at Ujjain was Bhaskara I who led the Asmaka school. This school would have the study of the works of Aryabhata as their main concern and certainly Bhaskara was commentator on the mathematics of Aryabhata. More than 100 years after Bhaskara lived the astronomer Lalla, another commentator on Aryabhata.

      The ninth century saw mathematical progress with scholars such as Govindasvami, Mahavira, Prthudakasvami, Sankara, and Sridhara. Some of these such as Govindasvami and Sankara were commentators on the text of Bhaskara I while Mahavira was famed for his updating of Brahmagupta's book. This period saw developments in sine tables, solving equations, algebraic notation, quadratics, indeterminate equations, and improvements to the number systems. The agenda was still basically that set by Aryabhata and the topics being developed those in his work.

      The main mathematicians of the tenth century in India were Aryabhata II and Vijayanandi, both adding to the understanding of sine tables and trigonometry to support their astronomical calculations. In the eleventh century Sripati and Brahmadeva were major figures but perhaps the most outstanding of all was Bhaskara II in the twelfth century. He worked on algebra, number systems, and astronomy. He wrote beautiful texts illustrated with mathematical problems, some of which we present in his biography, and he provided the best summary of the mathematics and astronomy of the classical period.

      Bhaskara II may be considered the high point of Indian mathematics but at one time this was all that was known [ 26 ] :-

      Following Bhaskara II there was over 200 years before any other major contributions to mathematics were made on the Indian subcontinent. In fact for a long time it was thought that Bhaskara II represented the end of mathematical developments in the Indian subcontinent until modern times. However in the second half of the fourteenth century Mahendra Suri wrote the first Indian treatise on the astrolabe and Narayana wrote an important commentary on Bhaskara II, making important contributions to algebra and magic squares. The most remarkable contribution from this period, however, was by Madhava who invented Taylor series and rigorous mathematical analysis in some inspired contributions. Madhava was from Kerala and his work there inspired a school of followers such as Nilakantha and Jyesthadeva.

      Some of the remarkable discoveries of the Kerala mathematicians are described in [ 26 ] . These include: a formula for the ecliptic the Newton-Gauss interpolation formula the formula for the sum of an infinite series Lhuilier's formula for the circumradius of a cyclic quadrilateral. Of particular interest is the approximation to the value of π pi π which was the first to be made using a series. Madhava's result which gave a series for π pi π , translated into the language of modern mathematics, reads

      This formula, as well as several others referred to above, were rediscovered by European mathematicians several centuries later. Madhava also gave other formulae for π pi π , one of which leads to the approximation 3 . 14159265359 .

      The first person in modern times to realise that the mathematicians of Kerala had anticipated some of the results of the Europeans on the calculus by nearly 300 years was Charles Whish in 1835 . Whish's publication in the Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland was essentially unnoticed by historians of mathematics. Only 100 years later in the 1940 s did historians of mathematics look in detail at the works of Kerala's mathematicians and find that the remarkable claims made by Whish were essentially true. See for example [ 15 ] . Indeed the Kerala mathematicians had, as Whish wrote:-

      For each case, Citrabhanu gave an explanation and justification of his rule as well as an example. Some of his explanations are algebraic, while others are geometric. See [ 12 ] for more details.

      Now we have presented the latter part of the history of Indian mathematics in an unlikely way. That there would be essentially no progress between the contributions of Bhaskara II and the innovations of Madhava, who was far more innovative than any other Indian mathematician producing a totally new perspective on mathematics, seems unlikely. Much more likely is that we are unaware of the contributions made over this 200 year period which must have provided the foundations on which Madhava built his theories.

      Our understanding of the contributions of Indian mathematicians has changed markedly over the last few decades. Much more work needs to be done to further our understanding of the contributions of mathematicians whose work has sadly been lost, or perhaps even worse, been ignored. Indeed work is now being undertaken and we should soon have a better understanding of this important part of the history of mathematics.


      An overview of Babylonian mathematics

      The Babylonians lived in Mesopotamia, a fertile plain between the Tigris and Euphrates rivers.



      Hier is een map of the region where the civilisation flourished.


      The region had been the centre of the Sumerian civilisation which flourished before 3500 BC. This was an advanced civilisation building cities and supporting the people with irrigation systems, a legal system, administration, and even a postal service. Writing developed and counting was based on a sexagesimal system, that is to say base 60 . Around 2300 BC the Akkadians invaded the area and for some time the more backward culture of the Akkadians mixed with the more advanced culture of the Sumerians. The Akkadians invented the abacus as a tool for counting and they developed somewhat clumsy methods of arithmetic with addition, subtraction, multiplication and division all playing a part. The Sumerians, however, revolted against Akkadian rule and by 2100 BC they were back in control.

      However the Babylonian civilisation, whose mathematics is the subject of this article, replaced that of the Sumerians from around 2000 BC The Babylonians were a Semitic people who invaded Mesopotamia defeating the Sumerians and by about 1900 BC establishing their capital at Babylon.

      The Sumerians had developed an abstract form of writing based on cuneiform ( i.e. wedge-shaped ) symbols. Their symbols were written on wet clay tablets which were baked in the hot sun and many thousands of these tablets have survived to this day. It was the use of a stylus on a clay medium that led to the use of cuneiform symbols since curved lines could not be drawn. The later Babylonians adopted the same style of cuneiform writing on clay tablets.


      Here is one of their tablets


      Many of the tablets concern topics which, although not containing deep mathematics, nevertheless are fascinating. For example we mentioned above the irrigation systems of the early civilisations in Mesopotamia. These are discussed in [ 40 ] where Muroi writes:-

      It was an important task for the rulers of Mesopotamia to dig canals and to maintain them, because canals were not only necessary for irrigation but also useful for the transport of goods and armies. The rulers or high government officials must have ordered Babylonian mathematicians to calculate the number of workers and days necessary for the building of a canal, and to calculate the total expenses of wages of the workers.

      There are several Old Babylonian mathematical texts in which various quantities concerning the digging of a canal are asked for. They are YBC 4666 , 7164 , and VAT 7528 , all of which are written in Sumerian . and YBC 9874 and BM 85196 , No. 15 , which are written in Akkadian . . From the mathematical point of view these problems are comparatively simple .

      The Babylonians had an advanced number system, in some ways more advanced than our present systems. It was a positional system with a base of 60 rather than the system with base 10 in widespread use today. For more details of the Babylonian numerals, and also a discussion as to the theories why they used base 60 , see our article on Babylonian numerals.

      The Babylonians divided the day into 24 hours, each hour into 60 minutes, each minute into 60 seconds. This form of counting has survived for 4000 years. To write 5 h 25 ' 30 ", i.e. 5 hours, 25 minutes, 30 seconds, is just to write the sexagesimal fraction, 5 25 60 30 3600 5 largefrac<25><60> ormalsize largefrac<30><3600> ormalsize 5 6 0 2 5 ​ 3 6 0 0 3 0 ​ . We adopt the notation 5 25 , 30 for this sexagesimal number, for more details regarding this notation see our article on Babylonian numerals. As a base 10 fraction the sexagesimal number 5 25 , 30 is 5 4 10 2 100 5 1000 5 largefrac<4><10> ormalsize largefrac<2><100> ormalsize largefrac<5><1000> ormalsize 5 1 0 4 ​ 1 0 0 2 ​ 1 0 0 0 5 ​ which is written as 5 . 425 in decimal notation.

      Perhaps the most amazing aspect of the Babylonian's calculating skills was their construction of tables to aid calculation. Two tablets found at Senkerah on the Euphrates in 1854 date from 2000 BC. They give squares of the numbers up to 59 and cubes of the numbers up to 32 . The table gives 8 2 = 1 , 4 8^ <2>= 1,4 8 2 = 1 , 4 which stands for

      The Babylonians used the formula

      which shows that a table of squares is all that is necessary to multiply numbers, simply taking the difference of the two squares that were looked up in the table then taking a quarter of the answer.

      Division is a harder process. The Babylonians did not have an algorithm for long division. Instead they based their method on the fact that

      Babylonian mathematics went far beyond arithmetical calculations. In our article on Pythagoras's theorem in Babylonian mathematics we examine some of their geometrical ideas and also some basic ideas in number theory. In this article we now examine some algebra which the Babylonians developed, particularly problems which led to equations and their solution.

      We noted above that the Babylonians were famed as constructors of tables. Now these could be used to solve equations. For example they constructed tables for n 3 + n 2 n^ <3>+ n^ <2>n 3 + n 2 then, with the aid of these tables, certain cubic equations could be solved. For example, consider the equation

      It is not that easy to understand these calculations by the scribe unless we translate them into modern algebraic notation. We have to solve

      To solve a quadratic equation the Babylonians essentially used the standard formula. They considered two types of quadratic equation, namely

      Notice that in each case this is the positive root from the two roots of the quadratic and the one which will make sense in solving "real" problems. For example problems which led the Babylonians to equations of this type often concerned the area of a rectangle. For example if the area is given and the amount by which the length exceeds the breadth is given, then the breadth satisfies a quadratic equation and then they would apply the first version of the formula above.

      A problem on a tablet from Old Babylonian times states that the area of a rectangle is 1 , 0 and its length exceeds its breadth by 7 . De vergelijking

      In [ 10 ] Berriman gives 13 typical examples of problems leading to quadratic equations taken from Old Babylonian tablets.

      If problems involving the area of rectangles lead to quadratic equations, then problems involving the volume of rectangular excavation ( a "cellar" ) lead to cubic equations. The clay tablet BM 85200 + containing 36 problems of this type, is the earliest known attempt to set up and solve cubic equations. Hoyrup discusses this fascinating tablet in [ 26 ] . Of course the Babylonians did not reach a general formula for solving cubics. This would not be found for well over three thousand years.


      History of Mathematical Sciences

      This book explores the interaction between Europe and East Asia between the 16th and the 18th centuries in the field of mathematical sciences, bringing to the fore the role of Portugal as an agent of transmission of European science to East Asia. It is an important contribution to understanding this fundamental period of scientific history, beginning with the arrival of Vasco da Gama in India in 1498 and ending with the expulsion of the Society of Jesus from Portugal in 1759. The former event opened a new era in relations between Europe and Asia, in particular regarding the circulation of scientific knowledge, leading to major social and intellectual changes in both continents. The Society of Jesus controlled education in Portugal and in the Empire. It was central to the network of knowledge transmission until the Society was expelled from Portugal in 1759.

      The proceedings have been selected for coverage in:

      • Index to Social Sciences & Humanities Proceedings® (ISSHP® / ISI Proceedings)

      • Index to Social Sciences & Humanities Proceedings (ISSHP CDROM version / ISI Proceedings)


      The simple protractor is an ancient device. As an instrument used to construct and measure plane angles, the simple protractor looks like a semicircular disk marked with degrees, beginning with 0º to 180º.

      The first complex protractor was created for plotting the position of a boat on navigational charts. Called a three-arm protractor or station pointer, it was invented in 1801 by Joseph Huddart, a U.S. naval captain. The center arm is fixed, while the outer two are rotatable and capable of being set at any angle relative to the center one.


      Bekijk de video: Ruimtelijke eenheden omrekenen wiskundig